Un código de cuatro cifras deja tres rastros: una suma, un múltiplo y lo que ocurre al leerlo al revés. Tres condiciones para un único número.
El código con checksum y reverso
Enunciado
Un código tiene cuatro cifras distintas.
Se sabe que:
- es múltiplo de 9;
- la última cifra es el resto al dividir entre 10 la suma de las tres primeras;
- al invertir el orden de sus cifras, el número obtenido supera al original por 369 unidades.
¿Cuál es el código?
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Solución
Respuesta:
Sea el código $abcd$. El número obtenido al invertir sus cifras es $dcba$.
Como ese reverso supera al original por 369 unidades:
Es decir:
Agrupando:
Dividiendo entre 9:
Como $a, b, c, d$ son cifras, las diferencias $d - a$ y $c - b$ están entre $-9$ y $9$. La única combinación entera que satisface la ecuación es:
de modo que:
Ahora usamos la condición de la última cifra:
Sustituyendo $d = a + 1$ y $c = b - 7$:
luego:
de modo que:
Así que $b$ debe ser congruente con 4 módulo 5. Como $c = b - 7$ debe ser una cifra válida, $b$ solo puede ser 7, 8 o 9. De esos tres valores, el único congruente con 4 módulo 5 es $b = 9$, lo que da $c = 2$.
Finalmente, el código es múltiplo de 9, así que la suma de sus cifras debe serlo:
La única cifra $a$ que hace esta suma múltiplo de 9 es $a = 3$, pues $2(3) + 12 = 18$. Entonces $d = 4$.
El código es $\mathbf{3924}$.
Comprobación: las cuatro cifras son distintas; $3 + 9 + 2 + 4 = 18$, múltiplo de 9; $3 + 9 + 2 = 14$, cuyo resto al dividir entre 10 es 4; el reverso es 4293, y $4293 - 3924 = 369$.