La urna de Pólya es un clásico del azar reforzado: cuando un color sale, se vuelve un poco más probable que vuelva a salir. La pregunta es si ese sesgo acumulado distorsiona la distribución final o si, contra toda intuición, termina por no importar.
La apuesta de la urna
Enunciado
Una urna empieza con 1 bola roja y 1 azul.
En cada turno:
1. se extrae una bola al azar;
2. se devuelve a la urna;
3. se añade una nueva bola del mismo color.
Tras \(n\) turnos habrá \(n+2\) bolas en total.
María apuesta que, al cabo de \(n\) turnos, todos los valores posibles del número de bolas rojas son igual de probables. Luis dice que los valores centrales deberían salir más a menudo.
¿Quién gana la apuesta? Y, más precisamente, ¿cuál es la probabilidad de terminar con exactamente \(k\) bolas rojas?