Es de esos problemas que invitan a enumerar caminos uno por uno. Hay una manera mucho más elegante de resolverlo.
Escalera de 12 peldaños
Enunciado
Subes una escalera de 12 peldaños. En cada movimiento puedes avanzar 1 o 2 peldaños.
¿De cuántas maneras distintas puedes llegar arriba?
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Solución
Respuesta: 233 formas.
Sea $F(n)$ el número de maneras de llegar al peldaño $n$.
El último movimiento solo puede ser de dos tipos:
o vienes del peldaño $n-1$ con un salto de 1;
o vienes del peldaño $n-2$ con un salto de 2.
Por tanto, $ F(n)=F(n-1)+F(n-2). $
Las condiciones iniciales son: $ F(1)=1,\qquad F(2)=2. $
A partir de ahí: $ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233. $
Así, para 12 peldaños, $ F(12)=233. $
Es la misma recurrencia de Fibonacci, pero desplazada por las condiciones iniciales.