Cien personas, cien cajas y una sola oportunidad de coordinarse antes de entrar. Si cada prisionero abre cajas al azar, la supervivencia colectiva es prácticamente imposible: todos tendrían que acertar a la vez. Pero existe una estrategia sorprendente que no intenta buscar mejor, sino seguir la estructura oculta del desorden. El resultado parece magia: pasan de una probabilidad minúscula a sobrevivir casi una de cada tres veces.
Las cien cajas numeradas
Enunciado
Hay 100 prisioneros numerados del 1 al 100 y 100 cajas también numeradas del 1 al 100. Dentro de cada caja hay un número distinto del 1 al 100, colocado al azar.
Antes de empezar, los prisioneros pueden acordar una estrategia común. Después entran en la sala de uno en uno. Cada prisionero puede abrir como máximo 50 cajas, debe cerrarlas como estaban y sale sin comunicar nada a los demás. El prisionero i tiene éxito si encuentra el número i dentro de alguna de las cajas que abre.
El grupo completo se salva únicamente si los 100 prisioneros tienen éxito. ¿Qué estrategia les da la mayor probabilidad de salvarse?
Ver solución
Solución
Estrategia óptima: cada prisionero sigue el ciclo de la permutación que comienza en su propio número.
El procedimiento es este:
- El prisionero $i$ abre primero la caja número $i$.
- Si dentro encuentra su propio número, termina con éxito.
- Si encuentra otro número $j$, abre después la caja número $j$.
- Repite el proceso hasta encontrar su número o hasta haber abierto 50 cajas.
La clave es que la distribución de números dentro de las cajas forma una permutación de los números del 1 al 100. Toda permutación se descompone en ciclos. Por ejemplo, si la caja 7 contiene el número 31, la caja 31 contiene el 84 y la caja 84 contiene el 7, esos tres números forman un ciclo:
Si el prisionero 7 empieza abriendo la caja 7 y sigue los números que va encontrando, recorrerá ese ciclo y acabará encontrando su propio número. Lo mismo ocurre con cualquier prisionero: la estrategia le hace recorrer el ciclo en el que está su número.
¿Cuándo fracasa el grupo? Fracasa exactamente cuando la permutación tiene algún ciclo de longitud mayor que 50. Si un ciclo tiene 51 o más elementos, todos los prisioneros de ese ciclo necesitarían abrir más de 50 cajas para cerrar el recorrido. Al menos uno fallará, y por tanto fallará todo el grupo.
¿Cuándo sobreviven todos? Sobreviven si todos los ciclos de la permutación tienen longitud como máximo 50.
Ese es el salto conceptual: los prisioneros no intentan adivinar. Convierten un problema de azar disperso en una inspección parcial de ciclos.
Por qué no sirve abrir cajas al azar
Si cada prisionero elige 50 cajas al azar, cada uno tiene probabilidad $1/2$ de encontrar su número. Pero tienen que acertar los 100:
una probabilidad prácticamente nula. La estrategia de ciclos, en cambio, aprovecha la misma disposición aleatoria para coordinar implícitamente las búsquedas.
Probabilidad de éxito
La probabilidad de que una permutación aleatoria de 100 elementos no tenga ciclos de longitud mayor que 50 es aproximadamente
Es decir, alrededor de un 31%.
No garantiza la supervivencia, pero transforma un escenario casi imposible en uno con una probabilidad real y sorprendentemente alta.
Error común
El error más habitual es pensar que cada prisionero debe “buscar mejor” dentro de sus 50 cajas. No es así. La ventaja no viene de elegir cajas más prometedoras, sino de hacer que todos usen una regla compatible con la estructura global de la permutación.
Variante para pensar
¿Qué pasaría si hubiera 100 prisioneros, pero cada uno pudiera abrir solo 40 cajas? La misma estrategia seguiría siendo natural, pero ahora bastaría un ciclo de longitud 41 para condenar al grupo. La probabilidad de éxito caería mucho.