El proceso parece caótico: cada extracción depende del azar y las bolas van y vienen. Sin embargo, la respuesta final es completamente determinista desde el primer momento.
La última bola
Enunciado
En una urna hay cierta cantidad de bolas blancas y negras.
Repetidamente extraes dos bolas:
— Mismo color: retiras las dos bolas y metes una bola negra.
— Distinto color: retiras las dos bolas y metes una bola blanca.
El proceso continúa hasta que queda una sola bola.
¿Qué debe ocurrir con el número inicial de bolas blancas para que la última bola sea blanca?
Ver solución
Solución
Respuesta: la última bola será blanca si, y solo si, al principio había un número impar de bolas blancas.
Si el número inicial de blancas era par, la última bola será negra.
El orden de extracción no influye.
Prueba por invariante. Observemos cómo cambia el número de bolas blancas en cada jugada:
Dos blancas: se retiran 2 blancas y se añade una negra. El número de blancas cambia en −2.
Dos negras: no se toca ninguna blanca. El número de blancas no cambia.
Una blanca y una negra: se retira una blanca y se añade una blanca. El número de blancas no cambia.
En los tres casos, la paridad del número de blancas se conserva.
Al final queda una única bola. Si es blanca, hay exactamente 1 blanca, que es impar. Si es negra, hay 0 blancas, que es par.
Por eso la condición buscada es que el número inicial de bolas blancas sea impar.