Una sola regla cambia el juego: aquí pierde quien toma la última ficha. El reto está en encontrar una primera jugada que no solo parezca buena, sino que deje al rival sin defensa.
La última ficha pierde
Enunciado
Hay tres montones con 3, 4 y 5 fichas.
Dos jugadores se turnan. En cada turno, un jugador elige un solo montón y retira de él cualquier cantidad positiva de fichas.
Pero hay una regla incómoda: quien retire la última ficha de la mesa pierde.
Si juegas primero, ¿puedes garantizar la victoria? Si puedes, ¿cuál debe ser tu primera jugada?
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Solución
Respuesta: sí. La primera jugada correcta es quitar 2 fichas del montón de 3, dejando:
Este juego es una variante de Nim: en cada turno se quitan fichas de un solo montón. La diferencia es que aquí pierde quien toma la última ficha.
Mientras todavía haya algún montón con más de una ficha, la estrategia coincide con la del Nim clásico: conviene dejar al rival una posición con nim-sum cero.
En la posición inicial:
El nim-sum no es cero, así que hay una jugada ganadora.
Buscamos reducir un montón para que el nim-sum pase a ser cero. Con \(s=2\):
mientras que:
La única reducción válida es cambiar el montón de 3 por un montón de 1:
Desde ahí el rival queda en una posición perdedora, siempre que mantengas la estrategia correcta hasta el final.
La excepción de esta variante aparece cuando todos los montones que quedan tienen tamaño 1: entonces ya no se quiere dejar un número par de montones, sino un número impar al rival. Pero la primera jugada todavía no está en ese caso límite.