Mover tres fichas consecutivas parece una libertad amplia. Pero no todas las reordenaciones son alcanzables, y la razón es más sutil de lo que aparenta.
La rotación triple
Enunciado
Empiezas con la fila
\[
1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.
\]
La única operación permitida es elegir tres fichas consecutivas y rotarlas cíclicamente:
\[
abc \to bca \quad\text{o}\quad abc \to cab.
\]
¿Es posible obtener así cualquier permutación de las cinco fichas?
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Solución
Respuesta: No, no se puede.
Cada operación permitida es un 3-ciclo sobre posiciones consecutivas. Un 3-ciclo es una permutación par, y componer permutaciones pares produce siempre una permutación par. Por tanto, cualquier posición alcanzable desde $(1,2,3,4,5)$ debe diferir de ella en una permutación par.
Sin embargo, la permutación $(2,1,3,4,5)$ consiste en un único intercambio de dos elementos: es una permutación impar. Como impar no puede obtenerse como composición de pares, esta reordenación —y muchas otras— es inalcanzable.