Cuando el número de colores aumenta, el problema deja de ser un simple juego de deducción inmediata y pasa a exigir una forma de coordinación mucho más fina. Su interés está en cómo una sola intervención puede ordenar lo que viene después.
El verdugo y los sombreros (3 colores)
Enunciado
Hay 10 personas en fila, numeradas del 1 al 10, donde la 10 está detrás de todas.
Cada sombrero puede ser rojo, azul o verde. La persona 10 habla primero y ve los sombreros de las 9 personas que tiene delante; la 9 ve 8; y así sucesivamente. Nadie ve su propio sombrero ni los que quedan detrás.
Por turnos, cada uno debe decir en voz alta una sola palabra: “rojo”, “azul” o “verde”. No pueden añadir nada más.
Si alguien acierta el color de su sombrero, sobrevive; si falla, muere. Antes de empezar pueden acordar una estrategia.
¿Cuántas vidas pueden garantizar como mínimo?
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Solución
Respuesta: se garantizan 9 salvados.
Codificación: rojo = 0, azul = 1, verde = 2 (módulo 3).
Sea $x_1,\dots,x_{10}$ el valor real de cada sombrero.
La persona 10, que ve $x_1,\dots,x_9$, dice:
Puede fallar, pero deja fijada la ecuación:
La persona 9 conoce $y_{10}$, ve $x_1,\dots,x_8$ y despeja $x_9$:
Lo dice en voz alta y acierta. La persona 8 ya conoce $x_9$ —lo ha oído—, ve $x_1,\dots,x_7$ y despeja $x_8$ del mismo modo. Así sucesivamente hasta la persona 1.
Todas quedan determinadas de forma única, excepto la primera en hablar, cuya respuesta codifica la suma pero no puede conocer su propio sombrero.
Garantía: 9 salvados siempre. La persona 10 solo tiene una probabilidad de $1/3$ de acertar.