Su fama no es exagerada. Reúne en un solo nudo tres dificultades distintas —verdad, mentira y lenguaje desconocido— y exige una solución que las neutralice a la vez.
El acertijo lógico más difícil del mundo
Enunciado
Tres dioses, A, B y C, son llamados Verdad, Falsedad y Aleatorio, en algún orden.
- Verdad siempre responde con la verdad.
- Falsedad siempre responde con una mentira.
- Aleatorio responde al azar.
Entienden tu idioma, pero responden usando las palabras “da” y “ja”, y no sabes cuál significa “sí” y cuál significa “no”.
Puedes hacer exactamente tres preguntas, cada una dirigida a un solo dios y con respuesta sí/no.
¿Cómo identificas con certeza cuál es cuál?
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Solución
Respuesta: se puede identificar a los tres dioses en exactamente tres preguntas.
La clave es usar con mucho cuidado una pregunta de control. Para cualquier proposición $P$, definimos:
$M(P)$: "Si te preguntara si $P$, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Esta pregunta no dice simplemente si $P$ es verdadera. Hace algo un poco más sutil y más potente.
Qué significa realmente $M(P)$
Si preguntamos $M(P)$ a Verdad:
- responde da si $P$ es verdadera;
- responde ja si $P$ es falsa.
Si preguntamos $M(P)$ a Falsedad:
- responde da si $P$ es falsa;
- responde ja si $P$ es verdadera.
Esto no depende de si da significa sí o no. En ambos idiomas posibles, el patrón es el mismo.
Por tanto, para un dios que no sea Aleatorio:
| Dios preguntado | $P$ verdadera | $P$ falsa |
|---|---|---|
| Verdad | da | ja |
| Falsedad | ja | da |
Es decir:
$M(P)$ responde da exactamente cuando $P$ coincide con que el dios preguntado sea Verdad.
Esta es la herramienta buena. No elimina al mentiroso: lo incorpora.
Cómo convertirla en una pregunta fiable
Si queremos saber una proposición cualquiera $Q$, no preguntamos $M(Q)$.
Preguntamos:
$C(Q)$: "Si te preguntara si $Q$ si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Veamos por qué funciona.
- Si el dios es Verdad, la proposición interior "$Q$ si y solo si tú eres Verdad" equivale a $Q$.
- Si el dios es Falsedad, la proposición interior equivale a "no $Q$". Pero Falsedad responde da precisamente cuando la proposición interior es falsa. Así que vuelve a responder da cuando $Q$ es verdadera.
Por tanto, para cualquier dios que no sea Aleatorio:
| Pregunta $C(Q)$ | $Q$ verdadera | $Q$ falsa |
|---|---|---|
| Respuesta | da | ja |
Ahora sí: $C(Q)$ convierte da en una respuesta fiable sobre $Q$, sin saber qué significa da y sin saber si habla Verdad o Falsedad.
Primera pregunta: encontrar un dios no aleatorio
Pregunta a A:
"Si te preguntara si B es Aleatorio si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Es decir, pregunta a A la forma $C(B\text{ es Aleatorio})$.
Actúa así:
- si A responde da, la segunda pregunta se la harás a C;
- si A responde ja, la segunda pregunta se la harás a B.
¿Por qué funciona?
Si A no es Aleatorio, su respuesta a $C(B\text{ es Aleatorio})$ es fiable:
- da significa que B es Aleatorio, así que C no lo es;
- ja significa que B no es Aleatorio, así que B sirve.
Si A sí es Aleatorio, su respuesta puede ser cualquiera. Pero entonces B y C no son Aleatorio, así que tanto B como C sirven.
En todos los casos, después de la primera pregunta has elegido un dios no aleatorio. Llamémoslo $Y$.
Segunda pregunta: localizar a Aleatorio
Pregunta a $Y$:
"Si te preguntara si A es Aleatorio si y solo si tú eres Verdad, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Es decir, pregunta $C(A\text{ es Aleatorio})$.
Como $Y$ no es Aleatorio, la respuesta es fiable:
- si responde da, A es Aleatorio;
- si responde ja, A no es Aleatorio.
Si A no es Aleatorio, entonces Aleatorio es el tercer dios que no es A ni $Y$.
Con esto, Aleatorio queda identificado.
Tercera pregunta: distinguir Verdad y Falsedad
Ahora quedan dos dioses no aleatorios. Elige uno de ellos, llámalo $X$.
Hazle una pregunta $M(P)$ con una proposición que sepas verdadera, por ejemplo:
"Si te preguntara si dos más dos son cuatro, y me respondieras 'da', ¿me estarías diciendo la verdad?"
Aquí $P$ es verdadera.
Según la tabla inicial:
- si $X$ responde da, $X$ es Verdad;
- si $X$ responde ja, $X$ es Falsedad.
El otro dios no aleatorio queda identificado por descarte.
Así se identifican Verdad, Falsedad y Aleatorio con exactamente tres preguntas.