El problema parece avanzar por movimientos sucesivos, y la tentación natural es explorar secuencias. Pero la respuesta llega antes de empezar a ensayar combinaciones.
Diez fichas y la negra imposible
Enunciado
Empiezas con 10 fichas blancas sobre la mesa.
En cada movimiento debes elegir exactamente dos fichas y darles la vuelta: blanca pasa a negra y negra pasa a blanca.
¿Es posible llegar alguna vez a una situación con exactamente una ficha negra?
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Solución
Respuesta: No, es imposible.
Cada jugada voltea exactamente dos fichas. Según la combinación elegida, el número de fichas negras cambia en $-2$, $0$ o $+2$ — siempre una cantidad par. La paridad del número de negras es, por tanto, un invariante.
Se empieza con 0 fichas negras (par).
Llegar a 1 ficha negra requeriría un número impar.
Eso contradice el invariante: ninguna secuencia de movimientos, por larga que sea, puede cruzar esa barrera de paridad.